III. TURUNAN FUNGSI ALJABAR

NAMA: RAISYA ALIA YUSARIN

XI IPS 1/29

MATEMATIKA SEMESTER GENAP

 A. TURUNAN FUNGSI ALJABAR DAN RUMUS TURUNAN

Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi atau juga bisa disebut dengan diferensial adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, contohnya fungsi f dijadikan f' yang mempunyai nilai tidak memakai aturan dan hasil dari fungsi akan berubah sesuai dengan variabel yang dimasukan, atau secara umum suatu besaran yang berubah seiring perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut sebagai diferensiasi. Lalu untuk pengertian turunan aljabar adalah perluasan dari materi limit fungsi.

Notasi turunan fungsi aljabar seperti berikut:

Seperti yang telah disebutkan di atas, jika turunan fungsi aljabar merupakan perluasan dari materi limit fungsi sehingga dapat didefinisikan seperti berikut:

Rumus Turunan Aljabar

Setelah memahami tentang pengertian dari turunan fungsi aljabar, hal yang perlu Sobat Pintar pelajari adalah rumus dari turunan fungsi aljabar. Rumus turunan fungsi aljabar ini terbagi menjadi beberapa rumus berikut:

Turunan Fungsi Pangkat

Turunan Hasil Kali Fungsi

Bentuk dari fungsi kali adalah f(x) = u(x) . v(x), sehingga turunannya adalah f’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x).

Turunan Fungsi Pembagian

Turunan Pangkat dari Fungsi

Turunan Trigonometri

https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/turunan-fungsi-aljabar-pengertian-rumus-aplikasi-contoh-soal

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA MENGGUNAKAN TURUNAN

"garis singgung (disebut juga garis tangen) kurva bidang pada titik yang diketahui adalah garis lurus yang "hanya menyentuh" kurva pada titik tersebut." (wikipedia).

Dengan bahasa yang lebih sederhana dapat kita tuliskan garis singgung (tangent line) ialah garis yang hanya memiliki satu titik persekutuan (disebut sebagai titik singgung) dengan kurva.

Dengan pengertian garis singgung di atas, apakah garis pada gambar yang ketiga dibawah ini termasuk garis singgung?

Garis talibusur $AB$ atau dapat juga kita sebut dengan garis potong (secant line) yang menghubungkan titik $A$ dan $B$ pada kurva $y=f\left(x\right)$. Gradien (kemiringan) garis potong $AB$ adalah:
$\begin{array}{cc}{m}_{AB}& =\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ & =\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}\\ & =\frac{f\left(x_1+h\right)-f\left(x_1\right)}{x_1+h-x_1}\\ & =\frac{f\left(x_1+h\right)-f\left(x_1\right)}{h}\end{array}$

Jika titik $B$ kita geser mendekati titik $A$ maka $\Delta x$ atau $h$ semakin kecil yang mengakibatkan $\Delta y$ juga semakin kecil.

Apabila titik $B$ semakin mendekati $A$ atau $\Delta x=h$ sangat kecil (mendekati nol), sehingga titik $A$ dan titik $B$ seolah-olah berimpit maka diperoleh garis singgung kurva $f\left(x\right)$ di titik $A$.

Gradien garis singgung kurva di titik $A\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ adalah
$\begin{array}{cc}{m}_A& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x_1+h\right)-f\left(x_1\right)}{h}\\ m_A& =f^{\prime }\left(x_1\right)\end{array}$

Dari penjabaran di atas, dengan bahasa yang sederhana dapat kita tuliskan bahwa untuk titik $A\left(x_1,y_1\right)$ yang terletak pada kurva $f\left(x\right)$, maka gradien garis singgung di titik $A\left(x_1,y_1\right)$ adalah $m_A=f^{\prime }\left(x_1\right)$.

Untuk penjelasan lebih lanjut mari kita simak beberapa contoh soal berikut:

* Contoh pertama: *
tentukan gradien garis singgung kurva $f\left(x\right)=x^2–6x+5$ di titik $A(6,5)$
Jawab:
Sebagai tahap awal perlu diperhatikan apakah titik $A(6,5)$ terletak pada kurva $f\left(x\right)$. Untuk mengetahuinya kita periksa apakah $f\left(6\right)=5$,
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x^2–6x+5\\ f\left(6\right)& =6^2–6\left(6\right)+5\\ & =36–36+5\\ & =5\end{array}$
Dari hasil di atas kita ketahui bahwa titik $A(6,5)$ terletak pada kurva $f\left(x\right)$.
Seperti disampaikan sebelumnya bahwa pada titik $A\left(x_1,y_1\right)$ gradien garis singgung adalah $m_A=f^{\prime }\left(x_1\right)$.
Sehingga pada titik $A(6,5)$, gradien garis singgung adalah:
$\begin{array}{cc}{m}_A& =f^{\prime }\left(x_1\right)\\ f\left(x\right)& =x^2–6x+5\\ f^{\prime }\left(x\right)& =2x–6\\ m_A& =2x_1-6\\ & =2\left(6\right)-6\\ & =12-6=6\end{array}$

* Contoh kedua: *
tentukan gradien garis singgung kurva $f\left(x\right)=x^3–2x$ di titik $B(2,4)$
Jawab:
Sebagai tahap awal perlu diperhatikan apakah titik $B(2,4)$ terletak pada kurva $f\left(x\right)$. Untuk mengetahuinya kita periksa apakah $f\left(2\right)=4$,
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x^3–2x\\ f\left(2\right)& =2^3–2\left(2\right)\\ & =8–4\\ & =4\end{array}$
Dari hasil di atas kita ketahui bahwa titik $B(2,4)$ terletak pada kurva $f\left(x\right)$.
Seperti disampaikan sebelumnya bahwa pada titik $B\left(x_1,y_1\right)$ gradien garis singgung adalah $m_B=f^{\prime }\left(x_1\right)$.
Sehingga pada titik $B(2,4)$, gradien garis singgung adalah:
$\begin{array}{cc}{m}_B& =f^{\prime }\left(x_1\right)\\ f\left(x\right)& =x^3–2x\\ f^{\prime }\left(x\right)& =3x^2–2\\ m_B& =3x_1^2-2x_1\\ & =3(2{)}^2-2(2)\\ & =12-4\\ & =8\end{array}$

$\begin{array}{r}\mathrm{<br>}\end{array}$

SOAL LATIHAN dan PEMBAHASAN GARIS SINGGUNG KURVA DENGAN TURUNAN

1. Soal Latihan Garis Singgung Dengan Turunan

Diketahui kurva $f\left(x\right)=3x^2–2x+1$. Gradien garis singgung kurva tersebut pada titik $T(1,2)$ adalah...

$\begin{array}{cc}\left(A\right)& 3\\ \left(B\right)& 4\\ \left(C\right)& 7\\ \left(D\right)& -2\\ \left(E\right)& -4\end{array}$

Alternatif Pembahasan:

Pada titik $A\left(a,b\right)$ gradien garis singgung adalah $m_A=f^{\prime }\left(a\right)$
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =3x^2–2x+1\\ f^{\prime }\left(x\right)& =6x–2\\ & \text{gradien di titik}T(1,2)\\ m_T& =6\left(1\right)-2\\ & =4\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(B\right)$

 https://www.defantri.com/2020/09/garis-singgung-kurva-dengan-turunan.html

C. nilai stasioner dan turunan ke 2

YYU87G

II. LIMIT

NAMA: RAISYA ALIA YUSARIN

XI IPS 1/29

MATEMATIKA

 A. LIMIT FUNGSI ALJABAR

limit adalah suatu nilai yang menggunakan pendekatan fungsi saat mendekati nilai tertentu. Kalau bahasa sederhananya, limit dapat dikatakan sebagai nilai yang menuju suatu batas, batas yang bisa dikatakan dekat namun tidak bisa dicapai. 

Mencari Nilai Limit Fungsi

Metode Substitusi

Metode substitusi merupakan cara yang paling dasar untuk mencari nilai limit. Metode ini dilakukan dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x).

Contoh Soal:

Metode Pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian baru bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

Metode Mengalikan dengan Faktor Sekawan

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

https://www.zenius.net/blog/pembahasan-limit-fungsi-beserta-limit-menuju-tak-hingga

B. TEOREMA LIMIT

C. LIMIT  TAK TENTU

Menentukan Nilai Limit Bentuk Tak Tentu

Cara Pemfaktoran

Bentuk Faktor Istimewa

Latihan Soal dan Pembahasan

I. BARISAN DAN DERET

 Nama: RAISYA ALIA YUSARIN

XI IPS 1/29

A. BARISAN DAN DERET

Barisan adalah daftar bilangan yang dituliskan secara berurutan dari kiri ke kanan, di mana ia mempunyai pola atau karakteristik bilangan tertentu. Barisan biasanya disimbolkan dengan Un;

Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku yang ada di dalam suatu barisan tertentu. Deret ini biasanya disimbolkan dengan Sn;

Aritmetika adalah ilmu berhitung dasar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, yang ada di dalam cabang ilmu pengetahuan matematika.

Rumus Deret Aritmatika

https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-8-barisan-dan-deret-aritmatika-rumus-un-sn-dan-rumus-cepat

Rumus Barisan Aritmatika

Contoh Soal

1.Tentang deret hitung 1, 3, 5, 7, … diketahui bahwa jumlah n suku pertama adalah 225 maka suku ke-n adalah…

Jawaban contoh soal aritmatika:

a = 1 dan b = 3-1 = 2 maka berlaku:
Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
225 = n/2 {2.1 = (n - 1)2} -> n ² = 225 berarti n  = 15

Jadi, Un = U15 = a + (n - 1)b = 1 + (15 - 1)2 = 29

https://www.inews.id/news/nasional/7-contoh-soal-aritmatika-deret-dan-barisan-beserta-jawabannya

Soal 2 (UN 2014)
Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah ....
A. Rp7.500.000,00
B. Rp8.000.000,00
C. Rp52.500.000,00
D. Rp55.000.000,00

Pembahasan:

Diketahui:
Gaji awal (a) = 3.000.000
Kenaikan gaji (b) = 500.000
Ditanyakan:
Jumlah gaji selama 10 tahun (S₁₂).

Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)

S₁₀ = 10/2 (2(3.000.000) + ((10-1).(500.000))
S₁₀ = 5(6.000.000 + 4.500.000)
S₁₀ = 5(10.500.000)
S₁₀ = 52.500.000

Jadi, Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah Rp52.500.000,00
(JAWABAN: C)

https://www.ruangsoal.id/2018/07/kumpulan-soal-cerita-dan-pembahasan_15.html?m=1

B. BARISAN DAN GEOMETRI 

Apa itu barisan dan deret geometri?

Barisan geometri adalah pola yang memiliki pengali atau rasio yang tetap untuk setiap 2 suku yang berdekatan. Rasio pada barisan geometri biasa disimbolkan dengan r. Barisan geometri juga biasa disebut sebagai barisan ukur.

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri. Secara matematis, deret geometri dilambangkan sebagai S_n. Contohnya saat kamu diminta untuk menentukan jumlah seluruh amoeba setelah membelah diri 10 kali. Lantas, apa perbedaan deret geometri dan deret aritmatika? Perbedaannya, deret geometri berlaku untuk barisan geometri, sedangkan deret aritmatika berlaku untuk barisan aritmatika. 

Rumus Barisan Geometri

Secara matematis, rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai berikut.

Dengan ketentuan:

U_n = suku ke-n;

a = suku ke-1 atau U₁; 

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara U_n+1 dan U_n.

Rumus Deret Geometri

Berdasarkan nilai rasionya, deret geometri memiliki beberapa rumus seperti berikut.

Rumus deret geometri untuk r > 1

Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

S_n = jumlah n suku barisan geometri;

a = suku ke-1 atau U₁; 

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara U_n+1 dan U_n.

Rumus deret geometri untuk r <1 

Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

S_n = jumlah n suku barisan geometri;

a = suku ke-1 atau U₁; 

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara U_n+1 dan U_n.

Contoh Soal

Soal 1

Suatu spesies bakteri melakukan pembelahan diri jadi dua untuk setiap detik. Apabila di awal terdapat lima bakteri, berapa waktu yang dibutuhkan agar pembelahan tersebut menjadi 320 bakteri?

Pembahasan: 

Dari soal cerita tersebut diketahui: a = 5, r = 2, Un = 320. Ditanyakan: n = ?

Un = arⁿ -1

320 =5 x (2ⁿ -1)

(2ⁿ -1) = 320/5

(2ⁿ -1) = 64

(2ⁿ -1) = 2⁶ 

n = 7

Sehingga, waktu yang diperlukan untuk membelah diri hingga menjadi 320 bakteri yakni 7 menit. 

https://mamikos.com/info/contoh-soal-deret-geometri-beserta-jawabannya-lengkap-pljr/

C. BUNGA, PENYUSUTAN, PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN, BUNGAN DAN ANUITAS

1. Pengertian Bunga

Bunga merupakan imbalan jasa dari bank atau koperasi kepada nasabah atas jasanya menyimpan uang di bank atau koperasi kepada peminjam atas pinjaman yang diperolehnya. terdapat dua macam jenis bunga yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Apa sih perbedaannya?

Bunga tunggal merupakan imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan modal pokok pinjaman atau modal awal simpanan. Consequently, bunga tunggal merupakan contoh aplikasi barisan aritmatika. 

a. Rumus Bunga Tunggal

Latihan Soal dan Pembahasan Menentukan Total Pinjaman yang Harus Dikembalikan pada Bunga Tunggal

Bunga Majemuk

Bunga majemuk merupakan imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan modal pinjaman atau simpanan pada periode bunga berjalan. Consequently, dengan definisi tersebut kita dapat mengatakan bahwa bunga majemuk merupakan aplikasi barisan geometri.

a. Rumus Bunga Majemuk

Latihan Soal dan Pembahasan Menentukan Persentase Bunga pada Bunga Majemuk

Apa Itu Penyusutan?

penyusutan atau depresiasi adalah suatu penurunan dari nilai aset tetap. 

Cara Menghitung Penyusutan

Metode Garis Lurus (Straight-Line Method)

Metode yang pertama adalah garis lurus. Metode ini yang paling sering digunakan di akuntansi untuk menjaga penyusutan tetap konstan. Dengan kata lain, biaya penyusutan suatu aset akan tetap bernilai sama di setiap periode sampai akhir umur ekonomisnya. Nah, di sini ada dua rumus yang digunakan, yaitu dengan nilai residu dan tanpa nilai residu.

• Perhitungan menggunakan nilai residu

Rumus:

Biaya penyusutan = (Harga perolehan – Nilai residu) / Umur ekonomis

• Perhitungan tanpa menggunakan nilai residu

Rumus:

Biaya penyusutan = Harga perolehan / Umur ekonomis

Metode Saldo Menurun Ganda (Double Declining Balance Method)

Cara menghitung penyusutan yang kedua dengan menggunakan metode saldo menurun ganda. Fungsi metode ini adalah untuk mengkalkulasikan biaya penyusutan pada aset tetap berupa mesin produksinya. Kamu tau sendiri ‘kan kalau performa mesin gak selamanya bagus, pasti lama-kelamaan akan menurun mendekati masa akhir pemakaian. Begini cara perhitungannya:

Biaya penyusutan = (Harga perolehan / Umur ekonomis) x 2

Perhitungan dengan metode ini menggunakan nilai buku yang terus menurun di setiap periodenya, dan digunakan sebagai patokan.

Metode Jumlah Angka Tahun (Sum of Years Digits Method)

Metode yang satu ini hampir sama dengan metode saldo menurun ganda, karena digunakan untuk menghitung penyusutan pada mesin produksi. Tapi, rumusnya berbeda ya.

Biaya penyusutan = (Harga perolehan – Harga residu) x [(n / (n + (n – 1) + (n – 2) + …)]

Metode Unit Produksi (Units of Production Method)

Cara terakhir ada yang namanya metode unit produksi. Sesuai dengan namanya bahwa metode ini menetapkan penyusutan dengan memperhatikan jumlah unit produksi suatu aset tetap. metode ini lebih menekankan faktir kegunaan daripada waktu. Itulah mengapa satuan umur ekonomisnya bukan tahun, tetapi satuan unit produksi. Metode ini banyak digunakan oleh perusahaan manufaktur untuk menghitung sisa usia dari aset tetap mereka. Rumusnya seperti ini:

Biaya penyusutan = (Harga perolehan – Harga residu) x (Pemakaian / Kapasitas maksimal)

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh soal 1

PT Kurnia Sari membeli mobil baru untuk kebutuhan operasional perusahaan pada tanggal 15 Maret 2015 dengan harga Rp400.000.000 dan dibayar secara tunai. Empat tahun kemudian, mobil tersebut akan dijual dengan harga Rp100.000.000. Mobil tersebut sudah mengalami perubahan performa, yang awalnya bisa menempuh jarak hingga 100.000 km, sekarang hanya bsia menempuh jarak 50.000 km selama pemakaiannya. Berapakah biaya penyusutan mobil tersebut?

Jawab:

Kita gunakan rumus metode unit produksi.

Biaya penyusutan = (Harga perolehan – Harga residu) x (Pemakaian / Kapasitas maksimal)

Biaya penyusutan = (400.000.000 – 100.000.000) x (50.000 km / 100.000) = 150.000.000

Jadi, biaya penyusutan pada mobil tersebut adalah Rp150.000.000.

Contoh soal 2

PT Tata Boga membeli mesin untuk keperluan operasional perusahaan dengan harga Rp300.000.000 pada tanggal 20 Agustus 2005. Mesin tersebut diperkirakan tidak memiliki nilai residu pada akhir masa pemakaiannya. Mesin bisa beroperasi selama 8 tahun. Jadi, berapakah biaya penyusutan setiap tahun dari mesin tersebut?

Jawab:

Menggunakan metode saldo menurun ganda.PT Tata Boga membeli mesin untuk keperluan operasional perusahaan dengan harga Rp300.000.000 pada tanggal 20 Agustus 2005. Mesin tersebut diperkirakan tidak memiliki nilai residu pada akhir masa pemakaiannya. Mesin bisa beroperasi selama 8 tahun. Jadi, berapakah biaya penyusutan setiap tahun dari mesin tersebut?

Jawab:

Menggunakan metode saldo menurun ganda.

Biaya penyusutan = (Harga perolehan / Umur ekonomis) x 2

Biaya penyusutan akhir tahun pertama = (300.000.000 / 8) x 2 = Rp75.000.000.

Biaya penyusutan akhir tahun kedua = ((300.000.000 – 75.000.000) / 8) x 2 = Rp56.250.000.

dan seterusnya menggunakan cara yang sama.

https://www.zenius.net/blog/cara-menghitung-penyusutan.      Refrensi

Pertumbuhan

1. Pengertian

2. Rumus-rumus

a. Pertumbuhan Artimatika

b. Pertumbuhan Geometri

Latihan Soal & Pembahasan Pertumbuhan dan Peluruhan Matematika

Anuitas

1. Pengertian Anuitas

Rumus Anuitas

Latihan Soal dan Pembahasan

a. Menentukan Besar Angsuran

https://lupincourse.com/bunga-tunggal-majemuk-dan-anuitas/

TRANSFORMASI (Presentasi)

 Nama: Raisya Alia Yusarin 

Kelas: XI IPS 1(29)

untuk penjelasan lengkap presentasi link tertera di bawah ini :

https://youtu.be/3W8SHcevpwI

PRESENTASI PROGRAM LINEAR

Nama : RAISYA ALIA YUSARIN

 Kelas  : XI IPS 1 

 Absen : 29

KELOMPOK 8 MATERI PROGRAM LINEAR 

untuk penjelasan lengkap presentasi link tertera di bawah ini :

https://youtu.be/VAzxEbwXECA