SISTEM PERSAMAAN KUADRAT KUADRAT

 Nama: Raisya Alia Yusarin/25

Kelas: X IPS2

Sistem Persamaan Kuadrat adalah sistem persamaan yang terdiri dari dua persamaan kuadrat. Sistem persamaan kuadrat bisa diselesaikan dengan menggunakan metode grafik atau metode substitusi.

y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama)

y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua)

Contoh Soal :

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2

y = 2x2 – 3x

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh:

⇒ x2 = 2x2

⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0

⇒ x2 – 3x = 0

⇒ x(x – 3) = 0

⇒ x = 0 atau x = 3

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2.

■ Untuk x = 0 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (0)2

⇒ y = 0

■ Untuk x = 3 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (3)2

⇒ y = 9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/12/contoh-soal-SPKK.html?m=0

SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT LINEAR Dua variabel

 Nama: RAISYA ALIA YUSARIN/25

X IPS2

https://passinggrade.co.id/pertidaksamaan-linear-dua-variabel/

Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel adalah sistem pertidaksamaan yang terbentuk dari dua atau lebih pertidaksamaan kuadrat dua variabel dengan variabel- variabel yang sama.

♦ Bentuk Pertidaksamaan

ax + by > c

ax + by < b

ax + by ≥ b

ak + by ≤ b

♦ Contoh kalimat dari pertidaksamaan

3x + 5y > 12

6x – 2y < 8

13x + 15y ≥ 24

15x + 8y ≤ 16

Contoh soal :

1) Himpunan penyelesaian dari |2x – 7| = 5 adalah …

A.{1}

B.{6}

C.{1, 6}

D.{-1}

E.{-1, 6}

Jawab :

|2x – 7| = 5

2x – 7 = 5 atau 2x – 7 = -5

2x = 12 atau 2x = 2

x = 6 atau x = 1

HP = {1, 6}

Jawaban C

PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN KUADRAT LINEAR Dua variabel

Nama: Raisya Alia Yusarin(25)

Kelas: X IPS2

https://www.ruangsoal.id/2016/11/materi-lengkap-sistem-persamaan-linear_15.html?m=1

 Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y adalah

Langkah-langkah Menyelesaikan SPLKDV

a. Subtitusikan y = ax+b ke y = px2 + qx + r sehingga berbentuk persamaan kuadrat

b. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yakni x1 dan x2

c. Subtitusikan x1 dan x2 ke persamaan bentuk linear untuk mendapatkan y1 dan y2

d. Himpunan penyelesaiannya adalah {(x1,y1),(x2,y2)}

Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dan bentuk kuadrat memiliki tiga kemungkinan, yakni:

Jika D>0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya

Jika D = 0, maka garis dan parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya

Jika D < 0, maka garis dan parabola tidak berpotongan sehingga tidak mempunya himpunan penyelesaian atau { }

Contoh Soal:

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

adalah

A. {(2,-1),(3,0)}

B. {(1,2),(3,0)}

C. {(-1,0),(2,3)}

D. {(2,3),(0,-1)}

E. {(0,3),(-1,2)}

Pembahasan:

Substitusikan y = x - 3 ke y = x2 - 4x + 3, diperoleh:

x - 3 = x2 - 4x + 3

<=> -x2 + 5x - 6 = 0

<=> x2 - 5x + 6 = 0

<=> (x - 3)(x - 2) = 0

<=> x1 = 3 atau x2 = 2

Untuk x1 = 3 maka y1 = 3 - 3 = 0

Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 - 3 = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,-1),(3,0)} ---> Jawaban: A

https://mardinata.com/pertidaksamaan-kuadrat-dua-variabel/

Pertidaksamaan linier dua variabel yaitu suatu pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi satu. Penyelesaian dari pertidaksamaa linier dua variabel ini merupakan gambar daerah pada grafik Catesius (sumbu-XY) yang dibatasi oleh suatu garis linier.

Contoh Penjelasan Soal

3x + 4y ≤12

Langkah pertama yang harus anda kerjakan adalah melukis garis 3x + 4y = 12 dengan cara menghubungkan titik potong garis yang ada dengan sumbu X dan Sumbu Y.

Titik Potong garis yang ada pada sumbu X memiliki arti sebagai Y = 0, dan didapatkan x = 4. Dengan menggunakan ketentuan menjadi (4,0)

Lalu tarik titik potong garis dengan sumbu Y artinya jika X = 0, maka akan didapat hasil Y = 3. Dengan ketentuan menjadi (0,3)

Garis 3x + 4y = 12 bilangan ini yang nantinya akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.

Untuk menentukan daerah mana sih yang nantinya akan di arsir untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian? Maka akan dilakukan salah satu titik uji dari salah satu titik yang ada pada kartesius tersebut daerah lain.

Sebagai contoh disini kita mengambil titik daerah lainnya yaitu (0,0) agar mempermudah anda dalam pengerjaannya. Lalu dengan titik (0,0) tersebut akan diperoleh bilangan seperti ini:

3x + 4y ≤12

= 3 (0) + 4 (0) ≤ 12

= 0 + 0 ≤ 12

= 0 ≤ 12 ( Nol kurang dari sama dengan dua belas)

Sehingga diperoleh 0≤12 benar, yang berarti sangat memenuhi sebagai daerah penyelesaian (DP).

SOAL KEHIDUPAN SEHARI-HARI dari SPLTV

 https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/06/contoh-soal-cerita-spldv-spltv-splk.html?m=0

 1.Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu.

x + y + z = 16

x + y = z – 2

100x + 10y + z = 21(x + y + z) + 13

Atau bisa kita ubah menjadi bentuk berikut.

x + y + z = 16

x + y – z = –2

79x – 11y – 20z = 13

Sekarang kita eliminasi variabel y dengan cara berikut.

● Dari persamaan 1 dan 2

x + y + z

=

16

x + y – z

=

−2

−

2z

=

18

z

=

9

● Dari persamaan 1 dan 3

x + y + z

=

16

|× 11|

→

11x + 11y + 11z

=

176

79x – 11y – 20z

=

13

|× 1|

→

Subtitusikan nilai z = 9 ke persamaan 90x – 9z = 189 sehingga diperoleh:

⇒ 90x – 9z = 189

⇒ 90x – 9(9) = 189

⇒ 90x – 81 = 189

⇒ 90x = 189 + 81

⇒ 90x = 270

⇒ x = 3

Subtitusikan nilai x = 3 dan z = 9 ke persamaan x + y + z = 16 sehingga diperoleh:

⇒ x + y + z = 16

⇒ 3 + y + 9 = 16

⇒ y + 12 = 16

⇒ y = 16 – 12

⇒ y = 4

Jadi, karena nilai x = 3, y = 4 dan z = 9 maka bilangan itu adalah 349.

3.Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurang empat. Carilah bilangan-bilangan itu.

■ Rata-rata ketiga bilangan sama dengan 16 berarti:

(a + b + c)/3 = 16

Apabila kedua ruas kita kalikan 3 maka:

a + b + c = 48

■ Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lain berarti:

b + 20 = a + c

atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.

atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.

a – b + c = 20

■ Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang 4 berarti:

c = a + b – 4

atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.

a + b – c = 4

Sampai sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.

a + b + c = 48

a – b + c = 20

a + b – c = 4

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.

● Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 2

a + b + c

=

48

a – b + c

=

20

−

2b

=

28

b

=

14

● Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 3

a + b + c

=

48

a + b – c

=

4

−

2c

=

44

c

=

22

Subtitusikan nilai b = 14 dan nilai c = 22 ke persamaan a + b – c = 4 sehingga diperoleh nilai a yaitu sebagai berikut.

⇒ a + b – c = 4

⇒ a + 14 – 22 = 4

⇒ a – 8 = 4

⇒ a = 4 + 8

⇒ a = 12

Jadi, ketiga bilangan tersebut berturut-turut adalah 12, 14, dan 22.

SISTEM PERSAMAAN LINEAR 3 VARIABEL

 Nama: Raisya Alia Yusarin

Kelas: X IPS2

Absen:25

Mapel: MATEMATIKA

Contoh Penyelesain Persamaan linear 3 variabel

Tiga buah persamaan sebagai berikut:

6/x + 4/y + 1/z = 5

3/x + 2/y + 3/z = 5

1/x + 1/y + 1/z =11/6

Pembahasan

Persamaan:

6/x + 4/y + 1/z = 5 (i)

3/x + 2/y + 3/z = 5 (ii)

1/x + 1/y + 1/z = 11/6 (iii)

Dari (i) dan (ii), persamaan (i) dikali dengan 3 dan persamaan (ii) dikali dengan 1

18/x + 12/y + 3/z = 15 (i)

3/x + 2/y + 3/z = 5 (ii)

______________ −

15/x + 10/y = 10 (iv)

Persamaan (i) dan (iii), tidak perlu dikali

6/x + 4/y + 1/z = 5 (i)

1/x + 1/y + 1/z = 11/6 (iii)

_______________ −

5/x + 3/y = 19/6 (v)

Eliminasi x dari persamaan (iv) dikali 1, persamaan (v) dikali 3

15/x + 10/y = 10

15/x + 9/y = 19/2

__________ −

1/y = 1/2

2 = y

y = 2 ///

Lanjutkan mencari x, ambil persamaan (iv) saja

15/x + 10/y = 10

15/x + 10/2 = 10

15/x + 5 = 10

15/x = 10 − 5

15/x = 5

15 = 5x

x = 15/3

x = 3

Mencari z, dari persamaan (ii)

3/x + 2/y + 3/z = 5

3/3 + 2/2 + 3/z = 5

1 + 1 + 3/z = 5

2 + 3/z = 5

3/z = 5 − 2

3/z = 3

3 = 3z

z = 3/3

z = 1

Sehingga x : y : z = 3 : 2 : 1

PERSAMAAN NILAI MUTLAK Dan PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Nama: Raisya Alia Yusarin

Kelas: X IPS2

Mapel: Matematika

Semua bilangan mempunyai nilai mutlak nya masing masing. Semua bilangan mutlak bernilai positif, sehingga nilai bilangan mutlak dari bilangan dengan angka yang sama namun beda notasi positif (+) dan negatif (-) akan mempunyai hasil bilangan mutlak yang sama.

Jika x anggota dari bilangan riil, maka nilai mutlak ditulis dengan |x| dan    

 Contoh Soal 1

Berapa hasil x untuk persamaannilai mutlak |x-6|=10?

Jawab:

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, terdapat dua kemungkinan hasil bilangan mutlak

|x-6|=10

Solusi pertama:

x-6=10

x=16

solusi kedua:

x – 6= -10

x= -4

Jadi, jawaban untuk persamaan ini yaitu 16 atau (-4)

Contoh Soal 2

Tentukan penyelesaian persamaan nilaimutlak berikut:

|3x+2|²+|3x+2| – 2=0

Berapa nilai x?

Jawab:

Penyederhanaan : |3x+2| = p

maka

|3x+2|²+|3x+2|-2=0

p² + p – 2 = 0

(p+2) (p – 1) = 0

p+2 = 0

p = – 2 (nilai mmutlak tidak negatif )

atau

p – 1 = 0

p = 1

|3x+2| = 1

Sampai pada penyelesaian diatas, maka terdapat 2 kemungkinan jawaban untuk x, yaitu:

3x+2 = 1

 3x = 1 – 2

 3x = – 1

 x = – 1/3

atau

– (3x+2) = 1

3x+2 = – 1

3x = – 1 – 2

3x = – 3

x = – 1

Jadi penyelesaian persamaan tersebut adalah x= – 1/3 atau x= – 1

Contoh Soal 3

Tentukan penyelesaian dari persamaan nilaimutlak berikut:

|4x – 2| = |x + 7|

Jawab:

Untuk menyelesaikan persamaan diatas, menggunakan dua kemungkinan peyelesaian yaitu:

4x – 2 = x + 7

x = 3

atau

4x – 2 = – ( x + 7)

Contoh 1:

|2x – 5| < |x + 4|

Kedua ruas dikuadratkan:

(2x – 5)2 < (x + 4)2

(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0

(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0 (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))

(3x – 1).(x – 9) < 0

Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0

x = 1/3 atau x = 9

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}

Contoh 2:

|x – 2|2 – |x – 2| < 2

Misalkan |x – 2| = y

y2 – y < 2

y2 – y – 2 < 0

(y – 2).(y + 1) < 0

Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0

y = 2 atau y = –1

Garis bilangan:

Artinya:

–1 < y < 2

–1 < |x – 2| < 2

Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku

|x – 2| < 2

Sehingga:

–2 < x – 2 < 2

–2 + 2 < x < 2 + 2

0 < x < 4

NILAI MUTLAK XIPS2

Nama: Raisya Alia Yusarin

Kelas: X IPS2

Absen: 25

                          NILAI MUTLAK

 Persamaan nilai mutlak adalah nilai mutlak dari angka yang dapat didefinisikan sebagai jarak angka di atas titik 0 pada garis angka tanpa perlu memperhatikan bagaimana arahnya.

Contoh : Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Selesaikan persamaan: –5|x – 7| + 2 = –13.

Pembahasan Pertama, kita isolasi nilai mutlak, yaitu membuat simbol nilai mutlak berada pada satu ruas sedangkan suku-suku lainnya kita letakkan di ruas yang lain.

-5|x-7|+=-13

-5|x-7|=-15

   |x-7|=3

Sekarang perhatikan bahwa x – 7 merupakan “X” pada sifat persamaan nilai mutlak, sehingga

x-7=-3 atau x-7=3

  x=4 atau x=10

Dengan mensubstitusi ke persamaan semula akan memastikan bahwa himpunan selesaiannya adalah {4, 10}.Untuk persamaan seperti pada contoh 1 di atas, hati-hati untuk tidak memperlakukan simbol nilai mutlak seperti tanda kurung biasa. Persamaan –5(x – 7) + 2 = –13 hanya memiliki selesaian x = 10, dan tidak memiliki selesaian kedua karena persamaan tersebut memiliki bentuk sederhana x – 7 = 3. Persamaan –5|x – 7| + 2 = –13 dapat disederhanakan menjadi |x – 7| = 3 yang memiliki dua selesaian.

Berikut ini adalah berbagai sifat-sifat tersebut:

|x| ≥ 0

|x|=|-x|

|x-y|=|y-x|

|x|=√|x²|

|x|²=x²

jika |x|<|y| maka x²<y²

|xy|=|x| |y|

|x/y|=|x|/|y|; y≠0

|x-y|=|x|-|y|

|x+y|=|x|+|y|

Mengenal Nilai Mutlak

Nilai mutlak atau bisa juga disebut dengan modulus merupakan nilai suatu bilangan riil tanpa adanya tanda tambah (+) atau kurang (–). Tentu saja kita sudah mengenal yang namanya garis bilangan.

Contohnya, nilai mutlak dari 4 sama dengan nilai mutlak dari -4 yaitu 4 atau secara umum dapat ditulis menjadi

|4| = |-4| = 4

Bisa dikatakan bahwa nilai mutlak adalah jarak yang ditempuh dan menghiraukan arahnya. Jika kamu sedang berdiri di titik 0, dan berjalan ke kanan sejauh 4 satuan, maka kamu akan berada di titik 4. Dan jika kamu memilih untuk berjalan ke kiri sejauh 4 satuan maka kamu akan berada di titik -4. Jarak yang kamu tempuh dari titik 0 ke kedua arah adalah sama-sama 4 satuan. Sehingga secara umum dinyatakan bahwa jarak x ke a dapat dituliskan dengan notasi |x-a| atau |a-x|.