TRANSFORMASI

 Nama: RAISYA ALIA YUSARIN

Kelas: XI IPS 1

Kamis,21 Juli 2022

Transformasi dalam matematika memiliki arti sebagai suatu fungsi yang memetakan kedudukan setiap titik dari posisi awal menjadi posisi baru. Transformasi terdiri dari empat jenis, yaitu translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.

A. TRANSLASI  (Pergeseran),Refleksi (Pencerminan),Rotasi (Perputaran),Dilatasi (Perkalian)

TRANSLASI  (Pergeseran)

Translasi adalah pergeseran objek menurut jarak dan arah tertentu. Translasi merupakan transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan jarah dan arah yang diberikan. Dalam transformasi translasi, setiap titik dipindahkan dengan besar dan arah yang sama.

Misalnya, sebuah titik ditranslasikan sejauh a satuan sejajar sumbu X dan sejauh b satuan sejajar sumbu Y. Artinya, a merupakan gerak horizontal (positif ke kanan, negatif ke kiri), dan b adalah gerak vertikal (positif ke atas, negatif ke bawah).

Refleksi (Pencerminan)

Refleksi sering kita temukan pada permukaan cermin atau pada permukaan air yang jernih. Refleksi sendiri merupakan transformasi yang memetakan setiap titik dengan ketentuan sebagai berikut.

1. Titik yang terletak pada garis cermin tidak mengalami perubahan posisi.
2. Titik yang tidak terletak pada garis cermin akan dicerminkan sehingga jarak objek ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin.

Untuk memahami sifat-sifat refleksi, perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa bayangan hasil pencerminan yang terletak di belakang garis cermin berhadapan dengan objek. Garis putus-putus yang menghubungkan titik bayangan dan titik objek tegak lurus dengan garis cermin. Kemudian, kita juga menemukan bahwa panjang ruas garis dan besar sudut bayangan sama dengan panjang ruas garis dan besar sudut objek. Objek dan bayangannya memiliki bentuk dan ukuran yang sama, tapi terletak pada arah yang berlawanan.

Rotasi (Perputaran)

Bentuk transformasi dalam matematika selanjutnya adalah rotasi. Kita bisa menemukan rotasi dalam kehidupan sehari-hari, misalnya roda yang bergerak pada porosnya, perpindahan jarum jam, dan pergerakan pintu ketika dibuka dan ditutup.

Rotasi adalah transformasi yang mengubah koordinat suatu titip terhadap titik tetap dengan besar tertentu dan arah tertentu. Arah rotasi dapat searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Sudut bernilai positif berarti berlawanan arah jarum jam, sementara sudut yang bernilai negatif berarti searah jarum jam.

Titik tetap adalah titik sudut rotasi, disebut juga dengan titik pusat rotasi. Sudut putar yang diukur berdasarkan titik pusat disebut sudut rotasi. Untuk memahami sifat-sifat rotasi, perhatikan gambar di bawah ini.

Koordinat bayangan hasil rotasi dapat ditentukan jika diketahui koordinat titik pusat rotasi, besar sudut rotasi, dan arah rotasi. Jika setiap titik sudut objek dirotasi dengan besar sudut rotasi yang sama, bayangan hasil rotasi memiliki bentuk, orientasi, dan ukuran yang sama dengan objek aslinya.

Objek dan bayangan berjarak sama terhadap titik pusat rotasi. Titik pusat rotasi adalah satu-satunya titik yang tidak berubah posisinya. Bisektor tegak lurus dari garis yang menghubungkan titik dan bayangan melewati pusat rotasi.

Dilatasi (Perkalian)

Bentuk transformasi dalam matematika yang terakhir adalah dilatasi. Dilatasi merupakan transformasi yang menghasilkan bayangan dengan bentuk yang mirip dengan objek asli, tapi dengan ukuran yang berbeda. Bayangan yang dihasilkan dapat lebih besar atau lebih kecil dari objek aslinya.

Perhatikan gambar anak penguin dan induk penguin di atas. Berdasarkan tinggi badannya, kita mengetahui bahwa induk penguin 5 kali lebih besar dari anak penguin. Ketika objek diperbesar, panjang semua sisi akan dikalikan dengan faktor skalanya.

Untuk memahami konsep dilatasi secara matematis, kita perlu mengetahui apa itu faktor skala dan titik pusat dilatasi. Faktor skala adalah nilai yang menentukan seberapa besar atau seberapa kecil bayangan hasil dilatasi terhadap objek aslinya. Sementara itu, titik pusat dilatasi digunakan untuk mengetahui titik acuan pengukuran jarak dalam memperbesar atau memperkecil objek.

Perhatikan gambar di bawah ini. Segitiga ABC diperbesar sehingga diperoleh segitiga A’B’C’.

Dengan begitu, kita mengetahui bahwa faktor skala pembesaran segitiga tersebut adalah 3.

B. GAMBAR TRANSLASI REFLEKSI ROTASI DAN DILATASI SERTA KOMPOSISI TRANSFORMASI

Refleksi (Pencerminan)

Bangun yang dicerminkan (refeksi) dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.

Rumus transformasi refleksi:

Pencerminan terhadap titik O (0, 0)

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap titik O (0, 0) menghasilkan bayangan A’(x’, y’), ditulis dengan:

Sumber: Dokumentasi penulis

Pencerminan terhadap sumbu x

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:

Sumber: Dokumentasi penulis

Pencerminan terhadap sumbu y

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:

Sumber: Dokumentasi penulis

Pencerminan terhadap garis y  = x

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y  = x menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:

Sumber: Dokumentasi penulis

Pencerminan terhadap garis y  = –x

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y  = –x menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:

Sumber: Dokumentasi penulis

Rotasi (Perputaran)

Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.

Rumus transformasi rotasi:

Titik A(x, y) diputar dengan pusat P(p, q) dan sudut α menghasilkan bayangan A‘(x‘, y‘), ditulis dengan:

Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks rotasi dengan sudut α (berlawanan arah jarum jam) adalah:

Sumber: Dokumentasi penulis

Dilatasi (Perkalian)

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.

• Jika k ˃ 1 maka bangun akan diperbesar dan berletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.
• Jika 0 ˂ k ˂ 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika -1 ˂ k ˂ 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika k = -1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun.
• Jika k ˂ -1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

Rumus transformasi dilatasi

Titik A(x, y) dilatasi dengan pusat P(p, q) dan skala k menghasilkan bayangan A‘(x‘, y‘), ditulis dengan:

Sumber: Dokumentasi penulis

Komposisi Transformasi

Matriks komposisi translasi

Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks komposisi refleksi

Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks komposisi rotasi

Sumber: Dokumentasi penulis

C. LATIHAN TRANSFROMASI,TRANSLASI,REFLEKSI,ROTASI,DILATASI DAN KOMPOSISI TRANSLAMASI

Contoh 1 – Soal Translasi

Pembahasan:

Misalkan: T1 (a, b) maka T2 • T1 = (a + 4, b + 1), selanjutnya perhatikan proses translasi berikut.

Mencari nilai a:
3 + a + 2 = 8
a + 5 = 8
a = 8 – 5 = 3

Mencari nilai b:
-2 + b + 1 = 7
b – 1 = 7
b = 7 + 1 = 8

Jadi, nilai translasi dari T1 = (3, 8)

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Persamaan garis 3x – y – 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

Persamaan matriks A:

adalah ….
A. –2x – 7y –11 = 0
B. 2x + 7y – 11 = 0
C. –2x – 7y + 11 = 0
D. 2y – 7x + 11 = 0
E. 2x – 7y + 11 = 0

Pembahasan:

Pertama, cari hasil bayangan dari pencerminan terhadap garis y = x.

Matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah:

Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa x’ = y dan y’ = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x – y – 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.

3x – y – 11 = 0
3y’ – x’ – 11 = 0
– x’ + 3y’ – 11 = 0

Kedua, langkah selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks A, Perhatikan langkah -langkahnya seperti pada cara berikut,

Sehingga, diperoleh dua persamaan berikut.

–3x’ + 2y’ = x’’
– x’ + y’ = y’’

Berikutnya, akan dicari persamaan yang senilai dengan x’ dan y’:

Mencari nilai x’:

Mencari nilai y’:

Subtitusi hasil x’ dan y’ di atas pada persamaan  – x’ + 3y’– 11 = 0:
-x’ + 3y’ – 11 = 0
-(2y’’ – x’’) + 3( 3y’’ – x’’ ) – 11 = 0
-2y’’ + x’’ + 9y’’ – 3x’’ – 11 = 0
-2x’’ + 7y’’ – 11 = 0
2x’’ – 7y’’ + 11 = 0

Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x – y – 11 = 0 adalah 2x – 7y + 11 = 0.

Jawaban: E

Contoh 3 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Rotasi

Hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah ….
A. 2x – y – 4 = 0
B. x – 2y – 4 = 0
C. x – 2y – 2 = 0
D. 2x – y + 2 = 0
E. 2x – y – 4 = 0

Pembahasan:

Hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah:

Sehingga diperoleh x’ = – x dan y’ = y, selanjutnya substitusikan kedua nilai yang diperoleh pada persamaan x – 2y – 2 = 0.

x – 2y – 2 = 0
– x’ – 2y’ – 2 = 0

Transformasi selanjutnya adalah rotasi sebesar 90o yang berpusat di O(0, 0):

Substitusi nilai x’ = y’’ dan y’ = – x’’ pada persamaan –x’ – 2y’ – 2 = 0:

– x’ – 2y’ – 2 = 0
– y’’ – 2(–x’’) – 2 = 0
– y’’ + 2x’’ – 2 = 0
2x’’ – y’’ + 2 = 0

Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah 2x – y + 2 = 0.

Jawaban: D

Contoh 4 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Dilatasi

Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….
A. 15
B. 11
C. 5
D. 4
E. 2

Pembahasan:

Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut.

Sehingga dapat diperoleh nilai a dan b:

• a = 9
• 3b – 2 = 10
  3b = 12
  b = 12 : 3 = 4

Jadi, nilai a – b = 9 – 4 = 5

Jawaban: C

1. Titik A(-3, 5) ditranslasikan dengan T₁ (2, -7) kemudian dilanjutkan dengan translasi T₂ (3, -2). Tentukan koordinat akhir titik A tersebut !

Pembahasan:

Sumber: Dokumentasi penulis

2. Jika garis x – 3y + 2 = 0 dilatasi dengan pusat P (2, 1) dan skala -3, maka cobalah tentukan bayangan dari garis tersebut.

Pembahasan:

Sumber: Dokumentasi penulis

Subtitusikan ke persamaan awalnya, sehingga menjadi:

x – 3y + 2 = 0          (sebelum subtitusi)

(-x /3 + 8/3) – 3 (-y/3 + 4/3)+ 2 = 0

–x /3 + y + 2/3 = 0    (kedua ruas dikalikan 3)

–x  + 3y + 2 = 0

Jadi bayangan garis tersebut adalah –x  + 3y + 2 = 0.

3. Garis x + 2 y – 5 = 0 dirotasi dengan dimana adalah rotasi dengan sudut 90º berlawanan arah jarum jam pada pusat P (2, 1). Tentukan persamaan posisi akhir garis tersebut !

Pembahasan:

Sumber: Dokumentasi penulis

Subtitusikan ke persamaan awalnya, sehingga menjadi:

x + 2 y – 5 = 0         (sebelum subtitusi)

(y + 1) + 2 (x + 3) – 5 = 0

y + 1 + 2x + 6 – 5 = 0

y  + 2x + 2 = 0

Jadi persamaan posisi akhir garis tersebut adalah y  + 2x + 2 = 0.

DAFTAR PUSTAKA

https://www.kelaspintar.id/blog/edutech/transformasi-dalam-matematika-seperti-apa-3665/

https://tambahpinter.com/transformasi-geometri/

https://idschool.net/sma/rumus-pada-transformasi-geometri-translasi-refleksi-rotasi-dan-dilatasi/

DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

 Nama:RAISYA ALIA YUSARIN

Kelas: XI IPS 1

Kamis,21 Juli 2022

Pengertian Determinan Matriks

Determinan Matriks adalah sebuah angka yang diperoleh dari matriks bujur sangkar atau persegi melalui proses atau cara perhitungan tertentu.

Determinan sendiri biasa dinotasikan dengan tanda det(A) atau |A| pada matriks A. Determinan biasanya digunakan untuk mencari nilai dari invers sebuah matriks.

Ingat determinan hanya dapat dihitung pada matriks persegi seperti 2x2, 3x3, 4x4   dan seterusnya.

A.DETERMINAN MATRIKS BERORDO 2x2 DAN 3x3

Rumus Determinan Matriks 2x2

Untuk dapat mengetahui besar nilai derteminan dari sebuah matriks 2x2 kita dapat menghitung dengan rumus berikut.

Diketahui:
Carilah besar nilai determinan dari Matriks 2x2 berikut ini.

Cara Menghitung Determinan Matriks 2x2

Matriks B tersebut memiliki ordo 2x2, Hitunglah besar nilai determinan dari Matriks ordo 2x2 berikut.

Jawab:
Pada matriks tersebut diketahui bahwa nilai a = 3, b = 2, c = 1 dan d = 3 kemudian hitung menggunakan Rumus Determinan Matriks ordo 2x2.

|B| = (a × d) - (b × c)
|B| = (3 × 3) - (2 × 1)
|B| = 9 - 2
|B| = 7

Jadi nilai determinan Matriks B bernilai7.

Determinan Matriks Ordo 3x3

Misalkan,adalah matriks berordo 3x3. Terdapat dua cara yang bisa dilakukan untuk mencari determinannya, yaitu menggunakan aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

B.INVERS MATRIKS BERORDO 2x2 DAN 3x3

Cara Mencari Invers Matriks

a. Invers Matriks Ordo 2x2

Contoh soal invers matriks ordo 2x2

Tentukanlah invers dari matriks berikut.

Pembahasan:

 

Catatan: elemen-elemen yang berada di lingkar biru merupakan diagonal utama matriks A yang ditukar posisinya, sedangkan elemen-elemen yang berada di lingkar oranye merupakan diagonal kedua matriks A yang dikalikan dengan minus satu (-1).

Invers Matriks Ordo 3x3

Mencari invers matriks berordo 3x3 dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan adjoin dan transformasi baris elementer.

Contoh soal invers matriks ordo 3x3 dengan adjoin

Tentukan invers matriks berikut dengan menggunakan adjoin!

Penyelesaian:

 

Oke, berdasarkan rumus di atas, kita membutuhkan determinan dan adjoin matriks A. Pertama, kita cari terlebih dahulu determinan matriks A menggunakan metode yang sudah dijelaskan sebelumnya. Bisa dengan cara aturan Sarrus ataupun metode minor-kofaktor. Misalnya, kita akan menggunakan metode Sarrus, sehingga:

Kemudian, kita tentukan adjoin matriks dengan mencari kofaktor matriks A tersebut.

Oleh karena itu,

Jadi,

 C.MASALAH KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

Arman membeli 5 pensil dan 3 penghapus, sedangkan Susi membeli 4 pensil dan 2 penghapus di toko yang sama. Di kasir, Arman membayar Rp 11.500,00 sedangkan Susi membayar Rp 9.000,00. Jika Dodi membeli 6 pensil dan 5 penghapus, berapa ia harus membayar?

Persoalan ini dapat diselesaikan menggunakan dua cara.

Jika  maka dengan cara

Cara pertama, yakni cara invers, diperoleh .

Penyelesaian

Dimisalkan harga satuan pensil = x dan harga satuan penghapus = y. Disusun ke dalam sistim persamaan linear dua variabel (SPLDV)

5x + 3y = 11.500

4x + 2y = 9.000

Sistim persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yakni

Cara Pertama (Invers Matriks)

   dan 

Diperoleh harga satuan pensil Rp 2.000 dan harga satuan penghapus Rp 500.

Jadi, Dodi harus membayar [6 x Rp 2.000] + [5 x Rp 500] = Rp 14.500

Cara Kedua (Determinan Matriks)

Jadi, Dodi harus membayar [6 x Rp 2.000] + [5 x Rp 500] = Rp 14.500.

Daftar Pustaka 

https://www.ruangguru.com/blog/cara-mencari-determinan-dan-invers-matriks

https://brainly.co.id/tugas/1476814

https://www.tugassains.com/2022/01/cara-menghitung-determinan-matriks-2x2.html

Matriks

 Nama: Raisya Alia Yusarin

Kelas: XI IPS1

Kamis,21 Juli 2022

A.PENGERTIAN,OPERASI:PENGURANGAN,PENJUMLAHAN,PERKALIAN SKALAR,PERKALIAN TRANSPOS DAN KESAMAAN MATRIKS

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom(atau Membentuk pola persegi panjang),Dan ditempatkan di dalam kurung biasa atau kurung siku. Bilangan-bilangan pembentuk matriks disebut dengan elemen²matriks.

Matriks terbagi menjadi beberapa jenis, diantaranya:

1. Matriks nol, matriks yang seluruh elemennya adalah bilangan nol.

2. Matriks baris, matriks yang hanya memiliki satu baris, berordo 1 x j.

3. Matriks kolom, matriks yang hanya memiliki satu kolom, berordo i x 1.

4. Matriks persegi, matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, berordo i x i.

5. Matriks diagonal, matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali pada diagonal utamanya.

6. Matriks segitiga atas, matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.

7. Matriks segitiga bawah, matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.

8. Matriks identitas, matriks persegi yang elemen pada diagonal utamanya adalah satu, sedangkan elemen lainnya adalah nol.

Dua matriks dikatakan sama (A=B) apabila mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang letaknya sama (bersesuaian) besarnya sama

Operasi matriks sendiri meliputi : penjumlahan dan pengurangan dua matriks, perkalian matriks dengan bilangan skalar, perkalian dua matriks, dan transpose matriks.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Syarat penjumlahan dan pengurangan matriks yaitu : jika terdapat dua matriks, misal matriks A dan B, yang memiliki ordo sama, maka elemen-elemen yang seletak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Jumlah matriks A dan matriks B dapat dinyatakan dengan A+B, sedangkan selisih matriks A dan matriks B dapat dinyatakan dengan A – B.

Contoh :

Perkalian Skalar pada Matriks

Pada operasi perkalian skalar, sebuah matriks dikalikan dengan bilangan skalar. Jika diketahui A merupakan suatu matriks dan K merupakan bilangan real, maka hasil perkalian K dengan matriks A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan K.

Contoh :

Perkalian Dua Matriks

Berbeda dengan perkalian skalar yang hanya mengalikan setiap elemen matriks dengan bilangan skalar, perkalian dua matriks memiliki aturan tersendiri. Syarat dua buah matriks, misal matriks A dan matriks B, dapat dikalikan adalah jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.

Bentuk perkalian antar matriks secara umum, yaitu :

Untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B ialah dengan mengalikan elemen pada baris-baris matriks A dengan elemen pada kolom-kolom matriks B, kemudian jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut.

Contoh matriks :

Transpose Matriks

Transpose suatu matriks, misal matriks A, yang dilambangkan dengan At adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menukarkan baris matriks A menjadi kolom matriks At dan kolom matriks A menjadi baris matriks At.

Contoh :

kesamaan dua matriks adalah dua matriks apabila mempunyai ordo sama dan elemen elemen yang seletak nya bersesuaian dari ke dua matriks teraebut sama.jika ada dua atau lebih matriks maka akan dinyatakan sama apabila memiliki ordo atau jumlah kolom dan barisnya sama. Selain itu komponennya juga sama pada setiap selnya.

Lewat persamaan ini matriks tersebut dianggap matriks yang spesial meski tidak memiliki perbedaan atau disebut dengan nama yang berbeda dengan matriks yang biasanya.

Untuk prinsipnya sendiri matriks ini digunakan untuk memiliki komponen yang terletak pada sel tertentu. Atau pun untuk memiliki variabel yang ada di dalam komponen penyusun matriks tersebut.

Selain itu prinsip kesamaan matriks secara umum akan dihunungkan bersama dengan persamaan matematika yang lainnya. Persamaan ini menyerupai linear dua variabel, logaritma, eksponensial, persamaan kuadrat mau pun trigonometri.

Konsep Kesamaan Matriks

Jika terdapat dua matriks ditetapkan sama maka akan berlaku konsep persamaan seperti di bawah ini :

a = p; b = q; c = r

d = s; e = t; f = u

g = v; h = w; l = x

B. LATIHAN MATRIKS

Contoh Soal 1

Jika diketahui persamaan metrik !

Pembahasannya :

Karena kedua matriks sama, maka elemen-elemen yang seletak akan sama pula, sehingga berlaku:

2x + 1 = 3
2x = 2
x = 1
y + 12 = 15
y = 3
x + y = 1 + 3 = 4

Contoh Soal 2

C. Masalah Kontekstual yang berhubungan dengan matriks

penjelasan ada di link video dibawah ini

https://colearn.id/tanya/4de35a77-d906-4db7-8fef-0222a31ecd06/Tuliskan-permasalahan-kontekstual-berikut-ke-bentuk-matriks-lalu-selesaikan-dengan-metode-eliminasi

daftar pustaka

https://rumusbilangan.com/contoh-soal-matriks-dan-jawabannya-kelas-11/

https://laelitm.com/pengertian-matriks/

https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/matriks-pengertian-operasi-determinan-invers-dan-contoh-soal#:~:text=Operasi%20matriks%20sendiri%20meliputi%20%3A%20penjumlahan,dua%20matriks%2C%20dan%20transpose%20matriks

https://jagostat.com/matematika-dasar/latihan-soal-dan-pembahasan-matriks-bagian-1

PROGRAM LINEAR

 Nama: Raisya Alia Yusarin

Kelas: XI IPS1

Kamis,21 Juli 2022

A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR 2 VARIABEL

Program linear dua variabel adalah salah satu metode dalam menentukan solusi optimal dari suatu permasalahan linear yang memuat dua variabel berderajat satu. Konsep program linear berdasar dari konsep persamaan dan pertidaksamaan bilangan real, sehingga sifat-sifat persamaan linear dan pertidaksamaan linear dalam sistem bilangan real banyak digunakan sebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu masalah program linear.

Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

Dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel dikatakan membentuk kendala program linear jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap pertidaksamaan linear pada sistem tersebut. Sistem pertidaksamaan ini disebut sebagai kendala.

Nilai-nilai variabel (x, y) disebut sebagai himpunan penyelesaian pada masalah suatu program linear jika nilai (x, y) memenuhi setiap pertidaksamaan yang terdapat pada kendala program linear. Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang berbentuk :

ax + by + c < 0

ax + by + c ≤ 0

ax + by + c > 0

ax + by + c ≤ 0

dengan :

a, b : koefsien (a ≠ 0, b ≠ 0, a, b ϵ R)

c : konstanta (c ϵ R)

x, y : variabel (x, y ϵ R)

(Manullang dkk., 2017)

B. DAERAH KOTOR DAN DAERAH BERSIH

daerah bersih adalah daerah yang memenuhi suatu pertidaksamaan. Artinya, semua titik (x,y) yang memenuhi suatu pertidaksamaan linear atau suatu sistem pertidaksamaan linear.

Daerah bersih sendiri sering disebut juga dengan daerah himpunan penyelesaian. Untuk mengetahui lebih lanjut contoh soal dari daerah bersih, simak terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan pertidaksamaan

Daerah bersih memiliki keterkaitan satu sama lain dengan pertidaksamaan linear dua variabel.

Daerah kotor - Himpunan/daerah penyelesaiannya adalah daerah yang mengalami banyak arsiran

Daerah bersih - Himpunan/daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak terkena arsiran

C. MASALAH KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN PROGRAM LINEAR

Penerapan Program Linear Dua Variabel

Dalam kehidupan sehari-hari tentu banyak masalah yang berkaitan dengan perhitungan, seperti dalam ekonomi, sosial, industri dan milier.Misalnya dalam berdagang seorang pedagang pasti ingin mendapat keuntungan atau laba yang besar / maksimum, maka dengan menggunakan program linear pedagang tersebut dapat menghitung maksimum laba yang bisa diperoleh seorang pedagang. Untuk lebih memahami program linier dua variabel, perhatikanlah  contoh soal program linier metode grafik.

Pak Djuna memiliki area parkir seluas 1.960 m2. Luas rata-rata untuk mobil berukuran kecil adalah 4 m2 dan mobil besar adalah 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 220 kendaraan, biaya parkir mobil kecil adalah Rp 5.000,- / jam dan mobil besar adalah Rp 10.000,- / jam. Jika dalam 1 jam area parker Pak Djuna terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah

Pembahasan:

K + B ≤ 220

4K + 20B ≤ 1.960

K ≥ 0

B ≥ 0

Gambarkan garis dari pertidaksamaan tersebut dengan membuat titik-titik ! temukan titik-titik tersebut dengan nilai K = 0 dan B = 0.

0 × 5.000 + 98 × 10.000 = 980.000

152,5 × 5.000 + 67,5 × 10.000 = 1.437.500

220 × 5.000 + 0 × 10.000 = 1.100.000

Jadi hasil maksimum tempat parkir Pak Djuna selama satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang adalah Rp. 1.437.500,-.

Daftar Pustaka

https://tambahpinter.com/program-linier/

    

 

INDUKSI MATEMATIKA

Nama: RAISYA ALIA YUSARIN

Kelas: XI IPS1

Kamis, 21 Juli 2022

Induksi matematika merupakan sebuah metode pembuktian deduktif yang dipakai guna membuktikan pernyataan matematika yang berkaitan dengan himpunan bilangan yang terurut rapi (well ordered set).

Bilangan tersebut contohnya bilangan asli maupun himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli.

Ada 3 cara pembuktian di dalam matematika,yaitu:

1. Pembuktian secara langsung

2. Pembuktian secara tidak langsung

3. Pembuktian secara induksi Matematika

A. PEMBUKTIAN PERNYATAAN MATEMATIKA BERUPA BARISAN KETIDAKSAMAAN DAN KETERBAGIAN 

Pembuktian PERTIDAKSAMAAN

Berikut merupakan beberapa sifat pertidaksamaan yang sering dipakai, antara lain:

1. Sifat transitif

a > b > c ⇒ a > c atau

a < b < c ⇒ a < c

2. a < b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau

a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc

3. a < b ⇒ a + c < b + c atau

a > b ⇒ a + c > b + c

Contoh 1:

P(k) : 4k < 2k

P(k + 1) : 4(k + 1) < 2k+1

Apabila diasumsikan bahwa P(k) benar untuk k ≥ 5, maka tunjukkan P(k + 1) juga benar !

Ingat bahwa target kita yaitu unutk menunjukkan, sehingga:

4(k + 1) < 2k+1 = 2(2k) = 2k + 2k (TARGET)

Kita bisa mengawalinya dari ruas kiri pertidaksamaan di atas menjadi:

4(k + 1) = 4k + 4

4(k + 1) < 2k + 4 (karena 4k < 2k)

4(k + 1) < 2k + 2k (karena 4 < 4k < 2k)

4(k + 1) = 2(2k)

4(k + 1) = 2k+1

Berdasarkan sifat transitif maka dapat kita simpulkan bahwa 4(k + 1) < 2k+1

Mengapa 4k bisa berubah menjadi 2k ?

Sebab menurut sifat 3, kita diperkenankan untuk menambahkan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan bilangan yang sama.

Sebab tidak akan merubah nilai kebenaran pertidaksamaan tersebut. Sebab 4k < 2k benar, yang mengakibatkan 4k + 4 < 2k + 4 juga benar.

Darimana kita tahu, bahwa 4 harus diubah menjadi 2k ?

Perhatikan target.

Hasil sementara yang kita perloleh yaitu 2k + 4 sementara target kita yaitu 2k + 2k.

Untuk k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2k yaitu bernilai benar, sehingga 4 < 2k juga benar (sifat transitif). Hal tersebut mengakibatkan 2k + 4 < 2k + 2k benar (sifat 3).

Contoh 2:

Buktikan untuk masing-masing bilangan asli n ≥ 4 dan berlaku

3n < 2n

Jawab:

P(n) : 3n < 2n

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN

Langkah awal:

Akan menunjukan bahwa P(4) benar

3.4 = 12 < 24 = 16

Sehingga, P(4) bernilai benar

Langkah induksi

Ibaratkan bahwa P(k) benar, yakni:

3k < 2k, k ≥ 4

Akan menunjukan bahwa P(k + 1) juga benar, yakni:

3(k + 1) < 2k+1

3(k + 1) = 3k + 3

3(k + 1) < 2k + 3 (karena 3k < 2k)

3(k + 1) < 2k + 2k (karena 3 < 3k < 2k)

3(k + 1) = 2(2k)

3(k + 1) = 2k+1

Sehingga, P(k + 1) juga bernilai benar.

Berdasarkan konsep dari induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk masing-masing bilangan asli n ≥ 4.

Pembuktian KETERBAGIAN

Pernyataan “a habis dibagi b” yang bersinonim dengan:

a kelipatan b

b faktor dari a

b membagi a

Apabila p habis dibagi a serta q habis dibagi a, sehingga (p + q) juga akan habis dibagi a.

Misalnya, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga akan habis dibagi 2

Contoh :

Buktikan 6n + 4 habis dibagi 5, untuk masing-masing n bilangan asli.

Jawab:

P(n) : 6n + 4 habis dibagi 5

Akan dibuktikan dengan P(n) benar pada masing-masing n ∈ N.

Langkah awal:

Akan menunjukan P(1) benar

61 + 4 = 10 habis dibagi 5

Sehingga, P(1) benar

Langkah induksi:

Ibaratkan bahwa P(k) benar, yakni:

6k + 4 habis dibagi 5, k ∈ N

Akan menunjukan P(k + 1) juga benar, yakni:

6k+1 + 4 habis dibagi 5.

6k+1 + 4 = 6(6k)+ 4

6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4

Sebab 5(6k) habis dibagi 5 dan 6k + 4 habis dibagi 5, maka 5(6k) + 6k + 4 juga akan habis dibagi 5.

Sehingga, P(k + 1) benar.

Berdasarkan dari prinsip induksi matematika tersebut, terbukti bahwa 6n + 4 habis dibagi 5, untuk masing-masing n bilangan asli.

Bilangan bulat a akan habis dibagi bilangan bulat b apabila dijumpai bilangan bulat m sehingga akan berlaku a = bm.

Misalnya, “10 habis dibagi 5” benar sebab adanya bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2.

Maka dari itu, pernyataan “10 habis dibagi 5” bisa kita tuliskan menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”

B. MENYELESAIKAN CONTOH PEMBUKTIAN PERNYATAAN MATEMATIKA 

Contoh Soal 

Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5. 

Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya:

Langkah Pertama 

32(1) + 22(1)+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.

Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)

32k + 22k + 2

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 32(k+1) + 22(2k+2) 

= 32k+2 + 22k+2+2

= 32(32k) + 22(22k+2)

= 10(32k) + 5(22k+2) – 32k – 22k+2

= 10 (32k) + 5 (22k+2) – (32k + 22k+2)

Diperoleh:

10 (32k) sudah habis dibagi 5, 5(22k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(32k) + 22k+2 juga habis dibagi 5. 

Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.

Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1

Jika p(n) benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi). 

= (2n+1 + 2n+1) – 1

= (2.2n+1) – 1

= 2n+2 – 1 

= 2(n+1)+1 – 1 

Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1. 

C. LATIHAN SOAL PERNYATAAN MATEMATIKA BERUPA BARISAN KETIDAKSAMAAN DAN KETERBAGIAN

Daftar pustaka materi dan contoh soal yang di cari
https://www.yuksinau.id/induksi-matematika/
https://mamikos.com/info/contoh-soal-induksi-matematika-pljr/